局所コンパクト群上のGNS構成について
（この記事は表現論アドベントカレンダー2日目の記事です。）
こんにちは、大蛇ｨ丸です。
最近局所コンパクト群のユニタリ表現ついて勉強しているので、その中から定理を一つ紹介します。
主定理（GNS構成）
$G$を局所コンパクト群とする。連続関数$\varphi: G \to \mathbb{C}$が正定値の時、あるユニタリ表現、ヒルベルト空間、巡回ベクトルの組 $(\pi_\varphi ,\mathcal{H}_\varphi ,\xi_\varphi)$の組が存在して、
$$ \varphi(g) = <\pi_\varphi(g)\xi_\varphi,\xi_\varphi>_\varphi $$
をすべての$g\in G$で満たす。
また、もし別の三つ組$(\pi ,\mathcal{H},\xi)$が
$$ \varphi(g)= <\pi(g)\xi, \xi>$$
をすべての$g\in G$で満たすとき、
$$ \tilde{T} : (\pi_\varphi , \mathcal{H}_\varphi) \to (\pi , \mathcal{H}) ,\quad \tilde{T}(\xi_\varphi)=\xi$$
なるユニタリ同値$\tilde{T}$が存在する。(定理終)
（細かい用語は第２章で定義します）
大雑把に言うと正定値関数からユニタリ表現を（ある意味一意的に）構成することができるという定理です。この対応によって、ユニタリ表現の問題はしばしば対応する正定値関数の問題に置き換えることができます。
本記事は、GNS構成を多くの例を用いて紹介することを目的とします。
前提知識は群の定義とヒルベルト空間の定義でしょうか。有限群の表現論やリー群の表現論の知識があると例を理解しやすいかもしれません。
また、やる気があれば今後例を追加していくかもしれません。
局所コンパクト群のユニタリ表現の定義
局所コンパクト群のユニタリ表現について、最低限（にもしかしたら達していないかもしれない）の定義をします。詳しいことは、小林・大島を読んでください。この定義についてとても詳しく書かれています。
定義0.1(位相群と局所コンパクト群)
$G$を群かつハウスドルフ位相空間であるとする。次の条件が満たされる時、$G$を位相群であると呼ぶ；
直積位相空間$G\times G$から$G$への写像 $(x,y) \mapsto xy^{-1}$が連続である。
また、$G$が任意の点$g \in G$について相対コンパクトな近傍を持つとき、$G$を局所コンパクト群と呼ぶ。（定義終）
定義0.2（位相群の連続表現）
$G$を位相群、$V$を複素位相線型空間とする。群の準同型写像
$$ \pi : G \to GL_\mathbb{C}(V)$$
が与えられていて、写像
$$ G \times V \to V, \quad (g, v) \mapsto \pi(g)v $$
が連続になるとき、$(\pi , V)$を連続表現と呼ぶ。（定義終）
定義0.3（ユニタリ表現）
$(\pi, \mathcal{H})$がヒルベルト空間$\mathcal{H}$上の$G$の連続表現であるとする。任意の$g\in G, v \in \mathcal{H}$について
$$ \| \pi(g) v\| = \|v\|$$
が成立するとき、$(\pi, \mathcal{H})$をユニタリ表現と呼ぶ。（定義終）
正定値関数の定義
今後$G$は局所コンパクト群とします。
この章では（抽象的な）正定値関数とユニタリ表現から誘導される正定値関数の定義を見ていきましょう。
定義1.1（正定値関数）
連続関数$\varphi : G\to \mathbb{C}$が正定値関数であるとは、
任意の$n \in \mathbb{N}, g_1 ,\cdots , g_n \in G , c_1, \cdots , c_n \in \mathbb{C}$について、
$$ \sum_{i,j}c_i \overline{c_j}\varphi(g_{j}^{-1} g_i) \geq 0 \tag{1}$$
が成り立つときをいう。（定義終）
参考1.2(正定値行列）
エルミート行列$M \in M(n,\mathbb{C})$が正定値であるとは、任意の$v \in \mathbb{C}^n$について、
$$ ^t v M \overline{v} \geq 0$$
が成り立つ時をいう。
式(1)を
$$ c :=\left(\begin{array}{c}c_1 \\c_2 \\\vdots \\c_n\end{array}\right),\quad M:=(\varphi(g_j^{-1} g_i))_{ij}$$
という記号を用いて書き直すと、
$$ ^tcM\overline{c}\geq 0$$
と表される。(参考終）
このことから、正定値関数というのは正定値行列を一般化した概念と言えそうです。
命題1.3(行列要素の対角成分は正定値関数）
$(\pi, \mathcal{H})$を$G$上ののユニタリ表現で$\xi \in \mathcal{H}$とする。
この時、
$$\varphi_{\pi,\xi}:= <\pi(g)\xi,\xi>$$
は$G$上の正定値関数となる。やや非公式な言葉遣いだが、この$\varphi_{\pi,\xi}$をユニタリ表現$\pi$の$\xi$による行列要素の対角成分と呼ぶ。
[証明]連続表現の定義から、任意の$\varepsilon>0,g\in G$について近傍$U_g$が存在して、
$$ x \in U_g \Rightarrow \| \pi(x)\xi -\pi(g)\xi \| < \frac{\varepsilon}{\|\xi\|}$$
が成り立つ。よって、コーシー・シュワルツの不等式を用いて、$x\in U_g$のとき、
\begin{align} \left| \varphi_{\pi,\xi}(x)-\varphi_{\pi,\xi}(g)\right| &= \left| <\pi(x)\xi,\xi>-<\pi(g)\xi,\xi> \right| \\\ &= \left| <\pi(x)\xi-\pi(g)\xi,\xi> \right| \\\ &\leq \left\| \pi(x)\xi - \pi(g)\xi \right\| \| \xi\| < \varepsilon \end{align}
したがって、$\varphi_{\pi,\xi}$の連続性がわかった。
任意の$n\in \mathbb{N}, g_1,\cdots , g_n, c_1, \cdots ,c_n \in \mathbb{C}$に対して、
\begin{align}\sum_{i,j}c_i\overline{c_j}\varphi_{\pi,\xi}(g_j^{-1}g_i)&= \sum_{i,j} c_i\overline{c_j}<\pi(g_j^{-1}g_i)\xi,\xi> \\\ &= \sum_{i,j} c_i\overline{c_j}<\pi(g_i)\xi,\pi(g_j)\xi> \\\ &= <\sum_i c_i\pi(g_i)\xi,\sum_i c_i\pi(g_i)\xi>\\\ &= \left\|\sum_i c_i\pi(g_i)\xi \right\|^2 \geq 0 \\\ \end{align}
よって、$\varphi_{\pi,\xi}$は正定値関数である。（証明終）
したがって、ユニタリ表現$(\pi ,\mathcal{H})$とベクトル$\xi\in \mathcal{H}$が与えられているときは、$\pi$の$\xi$に関する対角成分$\varphi_{\pi,\xi}$として正定値関数を与えることができます。
定義1.4(巡回ベクトル）
$(\pi,\mathcal{H})$を$G$のユニタリ表現とする。$\xi \in \mathcal{H}$が巡回ベクトルであるとは、
$$ \mathcal{H} = \overline{\mathrm{span}\{ \pi(g)\xi ; g \in G\} } $$
が成り立つときをいう。（定義終）
つまり主定理は
命題1.3の逆対応（つまり抽象的に定義した正定値関数$\varphi$から三つ組$(\pi,\mathcal{H},\xi)$を与える）
が存在するということを主張しています。
ユニタリ表現から定まる正定値関数の例
ここでは（初等的な）ユニタリ表現から定まる正定値関数の例を見ていきたいと思います。ここでは例しか扱わないので、早く証明を知りたい人は飛ばして読んでいただいても構いません。
例2.1 （自明表現）
$\pi = 1_G$：自明表現、$\xi \in \mathbb{C}$を絶対値1の元としたとき、$\varphi_{1_G,\xi}\equiv 1$。
実際、
$$ \varphi_{1_G,\xi}(g) = <1_G(g)\xi,\xi> = \|\xi\|^2=1$$
例2.2（対称群の符号表現）
$G = \mathfrak{S}_n$をn次対称群、$\pi=\mathrm{sgn}$を符号表現、$\xi \in \mathbb{C}$を絶対値１の元としたとき、$\varphi_{\mathrm{sgn},\xi}(g) =\mathrm{sgn}(g)$である。
実際、
$$\varphi_{\mathrm{sgn},\xi}(g)= <\mathrm{sgn}(g)\xi,\xi>=\mathrm{sgn}(g)\|\xi\|^2=\mathrm{sgn}(g)$$
例2.3（$\mathfrak{S}_3$の2次元既約表現）
$$G=\mathfrak{S}_3, \quad \mathcal{H}:= \left\{ x = \left(\begin{array}{c}x_1 \\x_2 \\x_3\end{array}\right) \in \mathbb{C}^3 ; x_1+x_2+x_3=0 \right\}\quad \xi=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1 \\ \omega \\ \omega\end{array}\right)$$
$$ \pi(g)\left(\begin{array}{c}x_1 \\x_2 \\x_3\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}x_{g^{-1}(1)} \\x_{g^{-1}(2)} \\x_{g^{-1}(3)}\end{array}\right)$$
とします($(\pi,\mathcal{H})$は$\mathfrak{S}_n$の既約表現になっていることが知られています)。
この時、
\begin{align} \varphi_{\pi,\xi}(g)= \begin{cases}1 & (g=e) \cr\omega^2 & (g=(123) ) \cr\omega &(g=(132))\cr 0 & (otherwise)\end{cases}\end{align}
実際、$g=(123)$の時のみ計算してみると、
$$\varphi_{\pi,\xi}(123) =\frac{1}{3}\left< \left(\begin{array}{c} \omega^2 \\ 1 \\ \omega\end{array}\right), \overline{\left(\begin{array}{c} 1 \\ \omega \\ \omega^2\end{array}\right)}\right> = \frac{1}{3} 3\omega^2 = \omega^2$$
例2.4（トーラス上の既約表現）
$$ G= \mathbb{T}=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, \quad \chi_n(t)(z)=e^{int}z ,\quad \xi \in \mathbb{C}$$
ただし、$\xi$を単位ベクトルとする。このとき、$\varphi_{\chi_n ,\xi}(t)=e^{int}$である。
実際、
$$\varphi_{\chi_n ,\xi}(t) = <\chi_n(t)\xi,\xi>= e^{int}<\xi,\xi>=e^{int}$$
例2.5（ユニタリ群の行列の積での表現）
$G =U(n)$が$\pi(g)(v):=gv$、つまり行列の積にて表現を定める。このとき、
$$\varphi_{\pi ,\mathbb{e}_1}= g_{11}$$
ただし、$\mathbb{e}_1 :=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\\vdots \\ 0 \end{array}\right)$で$g_{ij}$は$g \in U(n)$の(i,j)成分を表す。
実際、
$$ \varphi_{\pi,\mathbb{e}_1} (g) = <g\mathbb{e}_1,\mathbb{e}_1> =\left< \left(\begin{array}{c}g_{11} \\ g_{21} \\\vdots \\ g_{n1} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\\vdots \\ 0 \end{array}\right)\right> =g_{11} $$
例2.6（離散群の左正則表現）
$G$を離散群、$\mathcal{H} = l^2(G), \xi = \delta_e ,\lambda_G$を左正則表現とする。
ただし、$\delta_e \in l^2(G)$は
\begin{align} \delta_e (g)= \begin{cases}1 & (g=e) \cr 0 & (g : otherwise) \end{cases}\end{align}
このとき、
$$\varphi_{\lambda_G,\delta_e} (g) = \delta_e \qquad$$
である（右辺は$e$を台とするディラック関数の意味であることに注意する）。実際、
\begin{align}\varphi_{\lambda_G,\delta_e}(g) = <\lambda_G(g)\delta_e , \delta_e> = <\delta_g , \delta_e> = \begin{cases}1 & (g=e) \cr 0 & (g : otherwise) \end{cases} = \delta_e \end{align}
今あげた例2.1~例2.6では、それぞれの$\xi$は巡回ベクトルになっています。
逆に、群$G$と正定値関数$\varphi$を与えたとき、
GNS構成の一意性の主張から、今あげた表現とユニタリ同値な表現を構成することができます。
（＊無限次元の例とかもっと面白い正定値関数を行列要素に持つ表現が見つかれば更新したいと思います）
主定理の証明
それでは、主定理を証明しましょう。構成自体は難しくないのですが、確認しなければいけないことが多いです。
$\varphi:G\to \mathbb{C}$を$G$上の正定値連続関数とします。
まず、方針を先に示します。
方針
${}_g\varphi(x):=\varphi(x g)$とする。
Step1
$V_{\varphi}:=\mathrm{span}\{_g\varphi ; g\in G\} \subset C(G)$とする。$<_{g_1}\varphi,_{g_2}\varphi>_{\varphi}:=\varphi(g_2^{-1}g_1)$は$V_{\varphi}$上の半双線型形式として拡張される。
Step2
$(V_{\varphi},<,>_{\varphi})$は内積空間である。
Step3
$(\mathcal{H}_{\varphi},<,>_{\varphi})$を内積空間$(V_{\varphi},<,>_{\varphi})$の完備化とする。
$\pi_{\varphi} (g) (_x\varphi) := \ _ {g x}\varphi $としたとき、$(\pi_{\varphi},\mathcal{H}_{\varphi})$はユニタリ表現に拡張される。
Step4
$\varphi(x) = <\pi(x)\xi_{\varphi},\xi_{\varphi}>_\varphi$である。ここで、$\xi_{\varphi}:= _e\varphi$。
Step5
$(\pi,\mathcal{H},\xi)$も$\varphi(x)=<\pi(x)\xi,\xi>$も満たすならば、ユニタリ同値$\tilde{T}: \mathcal{H}_{\varphi} \to\mathcal{H}$があって、$\tilde{T}(\xi)=\xi_{\varphi}$を満たす。
（方針終）
まず、簡単な補題を一つ示します。
補題3.1（正定値関数のエルミート性）
① $\varphi(e)\leq 0\quad$ ② $\varphi(g)= \overline{\varphi(g^{-1})}$
[証明]
① 正定値関数の定義より、特に$n=1, g_1=e, c_1= 1$とすれば出る。
② 正定値関数の定義式に$n=2, c_1=c_2=1, g_1 = e, g_2 = g$と$n=2, c_1=1 ,c_2= i, g_1 = e, g_2 = g$をそれぞれ適用すると、
$$2\varphi(e)+ \varphi(g)+\varphi(g^{-1}) \geq 0$$
$$ 2\varphi(e)+ i( \varphi(g^{-1})-\varphi(g) )\geq 0$$
従って①から特に、
$$ \varphi(g)+\varphi(g^{-1}), i ( \varphi(g^{-1}) -\varphi(g)) \in\mathbb{R}$$
がわかる。故に、
$$ \mathrm{Re}\varphi(g) = \mathrm{Re}\varphi(g^{-1}),\quad \mathrm{Im}\varphi(g) = -\mathrm{Im}\varphi(g^{-1})$$
従って、
$$ \varphi(g) =\overline{\varphi(g^{-1})}$$
（証明終）
主定理の証明
Step1
$$ f = \sum_i a_i {}_{g_i}\varphi, \quad h = \sum_j b_j {}_{{g_j}^{\prime}}\varphi$$
とおく。$<f,h>_{\varphi}$が$f,h$の表示によらずに定まることを示す。実際、
\begin{align} <f,h>_{\varphi} &:= \sum_{i,j} a_i \overline{b_j} <{}_{g_i}\varphi, {}_{g^{\prime}_j}\varphi >_\varphi \\\ &= \sum_{i,j} a_i \overline{b_j} \varphi(g^{\prime -1}_j g_i) \\\ &= \sum_j \overline{b_j} \left( \sum_i a_i {}_{g_i}\varphi \right) (g_j^{\prime -1}) = \sum_j \overline{b_j} f (g^{\prime -1}_j) \\\ &= \overline{\sum_{i,j} \overline{a_i} b_j \varphi( g^{-1}_i g^{\prime}_j)} = \overline{\sum_i \overline{a_i} h(g_i^{\prime -1})}\end{align}
（第４行目の等式で補題3.1 ② を用いた）従って、$<,>_\varphi$は$V_\varphi$上の半双線形形式に拡張される。
Step2
$(V_\varphi, <,>_\varphi)$は内積空間である。内積の公理を満たしていることを確認すればよい。Step1と同じ記号を用いる。
1) 半双線形であることは明らか。
2) $<f,h>_{\varphi} = \overline{<h,f>_{\varphi}}$である。実際、
\begin{align} <f,h>_{\varphi} &= \sum_{i,j} a_i \overline{b_j} \varphi(g^{\prime -1}_j g_i) \\\ &= \overline{\sum_{i,j} b_j \overline{a_i}\varphi( g^{-1}_i g^{\prime}_j)}= \overline{<h,f>_{\varphi}} \end{align}
3) $<,>_\varphi$は正定値である。実際、$f = \sum_i a_i {}_{g_i}\varphi$ に対して、正定値関数の定義から、
$$<f,f>_\varphi = \sum_{i,j} a_i \overline{a_j} \varphi(g^{ -1}_j g_i) \geq 0$$
が従う。また、$<f,f>_\varphi = 0$ならば$ f \equiv 0$である。実際、任意の$x \in G$に対して、
\begin{align} f(x) &= \sum_i a_i {}_{g_i}\varphi(x) \\ &= \sum_i a_i \varphi(x g_i ) \\ &= \sum_i a_i < _{g_i}\varphi , _{x^{-1}}\varphi>_\varphi = <f, _{x^{-1}}\varphi >_{\varphi} \\\end{align}
であり、コーシー・シュワルツの不等式より、
$$ |f(x)|^2 = |<f, _{x^{-1}}\varphi >_{\varphi}|^2 \leq \ <f,f>_\varphi <_{x^{-1}}\varphi, _{x^{-1}}\varphi>_\varphi = 0$$
したがって、$f \equiv 0$ が従う。以上より、$<,>_\varphi$は内積の公理を満足する。
Step3
$\mathcal{H}_\varphi$を内積空間$V_\varphi$の完備化とし、$\pi_\varphi(g)( _x\varphi) :=_{g x}\varphi $と定義し、線形に$\mathcal{H}_\varphi$まで拡張する。この定義が$f$の表示によらないことは容易に確認できる。
まず、すべての$g \in G$について$\pi_\varphi (g)$が等長作用素になっていることを示す。実際、$f = \sum_i a_i {}_{g_i}\varphi$について
\begin{align} \left\| \pi_\varphi (g)f\right\|^2 &:= \sum_{i,j} a_i \overline{a_j} <{}_{g g_i}\varphi, {}_{g g_j}\varphi >_\varphi \\\ &= \sum_{i,j} a_i \overline{a_j} \varphi(g^{ -1}_j g^{-1} g g_i) \\\ &= \sum_{i,j} a_i \overline{a_j} \varphi(g^{ -1}_j g_i)= \| f \|^2 \end{align}
$$ \pi_\varphi (g_1 g_2)(_x\varphi) = _{g_1 g_2 x}\varphi = \pi_\varphi(g_1) (_{g_2 x}\varphi) = \pi_\varphi(g_1)\pi_\varphi(g_2) (_x\varphi) $$
よって、$\pi_\varphi :G \to \mathrm{Aut}(\mathcal{H}_\varphi)$は準同型であることがわかる。
次に、$\pi_\varphi$が連続表現であることを示す。$g\in G$を止めたときの$ f \mapsto \pi_\varphi(g)(f)$の連続性は$\pi_\varphi(g)$の等長性から従う。
$\mathcal{H}_\varphi$は$_x\varphi$で生成されるから、$g \mapsto \pi_\varphi(g)(_x\varphi)$の連続性を示せば十分である。
\begin{align} \left\| \pi_\varphi(g)(_x\varphi)-\pi_\varphi(g^{\prime})(_x\varphi)\right\|^2 &= \left\| _{g x}\varphi-_{g^{\prime} x }\varphi \right\|^2 \\ &= <_{g x}\varphi-_{g^{\prime} x }\varphi ,_{g x}\varphi-_{g^{\prime} x }\varphi >_\varphi \\ &= 2\varphi(e) - \left( \varphi(x^{-1}g^{\prime -1} g x) + \varphi(x^{-1}g^{-1} g^{\prime} x) \right) \end{align}
よって、$\varphi$は連続なので$g \mapsto \pi_\varphi(g)(_x\varphi)$のノルム連続性が従う。
以上より、$( \pi_\varphi, \mathcal{H}_\varphi)$はユニタリ表現であることがわかった。
Step4
$\xi_\varphi = _e\varphi$とすると、
$$ <\pi_\varphi(g)\xi_\varphi, \xi_\varphi>_\varphi = <_g\varphi, _e\varphi>_\varphi =\varphi(g) $$
が成り立つ。
Step5
$(\pi, \mathcal{H}, \xi)$も$\varphi(g) = <\pi(g)\xi, \xi>$を満たすと仮定する。
このとき、$T: \sum_i a_i {}_{g_i}\varphi \mapsto \sum_i \pi(g_i) \xi $と定めると
\begin{align} T\left( \pi_{\varphi}(g) \left(\sum_i a_i {}_{g_i}\varphi\right)\right)&= T\left( \sum_i a_i {}_{g g_i}\varphi\right) \\ &= \sum_i a_i \pi(g g_i)\xi \\ &= \pi(g) \left( \sum_i a_i \pi(g_i) \xi \right) \\ &= \pi(g) T\left( \sum_i a_i {}_{g_i}\varphi \right) \end{align}
したがって、$T$は絡作用素であり、
\begin{align} \left\| T \left( \sum_i a_i {}_{g_i}\varphi \right) \right\|^2 &= \left\| \sum_i a_i \pi(g_i)\xi\right\|^2 \\ &= \sum_{i,j} a_i \overline{a_j} <\pi(g_i)\xi, \pi(g_j) \xi> \\ &= \sum_{i,j} a_i \overline{a_j} <\pi(g^{-1}_j g_i)\xi, \xi> \\ &= \sum_{i,j} a_i \overline{a_j} \varphi(g^{-1}_j g_i) \\ &= \sum_{i,j} a_i \overline{a_j}<{}_{g_i}\varphi , {}_{g_j}\varphi > = \left\| \sum_i a_i {}_{g_i}\varphi \right\|^2 \end{align}
より、等長作用素である。また、$\xi \in \mathcal{H}$は巡回ベクトルなので$\mathcal{R}(T) \in \mathcal{H}$は稠密である。
したがって、$T$はユニタリ同値$\tilde{T} : \mathcal{H}_\varphi \to \mathcal{H}$に拡張される。（証明終）
定義3.2（GNS -triple)
定理3.1によって構成された三つ組$(\pi_\varphi, \mathcal{H}_\varphi, \xi_\varphi)$を正定値関数$\varphi$に関するG上のGNS-tripleと呼ぶ。
ここで、GNS-tripleの例を一つ構成してみましょう。
例3.3（左正則表現をGNS構成で得る）
$G$を離散群、$\varphi = \delta_e$を$e \in G$を台とするディラック関数とする。
$\varphi$は（連続）正定値関数である。離散群上の関数なので、連続性は自明。
任意の$ n \in \mathbb{N}, c_1, \cdots, c_n \in \mathbb{C}, g_1, \cdots, g_n \in G$について、
$$ \sum_{i,j} c_i \overline{c_j} \varphi(g^{-1}_j g_i) = \sum_i |c_i|^2 \geq 0 $$
より、$\varphi$ は正定値関数であることがわかる。
$$ V_\varphi = \mathrm{span}\{ _g\varphi ; g\in G\} = \mathrm{span}\{ \delta_{g^{-1}} \} = \mathrm{span}\{ \delta_g \}$$
ここで、$(\lambda_G, l^2(G))$（$\lambda_G$は左正則表現)とすると、
$(\pi_\varphi, V_{\varphi})$は自然に$(\lambda_G, l^2(G))$へ埋め込むことができ、像が稠密になる。
よって、ユニタリ同値$(\pi_\varphi,\mathcal{H}_\varphi) \cong (\lambda_G, \mathrm{l}^2(G))$を得る。
系と関連する結果
主定理によってユニタリ表現$(\pi,\mathcal{H})$と正定値関数$\varphi$には強力な対応関係があることがわかりました。主定理からすぐにしめせる系と、さらなるユニタリ表現と正定値関数の関係を見ていくことにしましょう。
系4.1
$(\pi,\mathcal{H}$をユニタリ表現、$\xi \in \mathcal{H}$とする。
$\varphi(g) = <\pi(g)\xi , \xi>$とすると、$\pi_\varphi$は$\pi$を部分表現として含む。
[証明]
主定理より
$$(\pi_\varphi, \mathcal{H}) \cong (\pi|_{\mathcal{H}^{\prime}}, \mathcal{H}^{\prime} := \overline{\mathrm{span}\{ \pi(g)\xi ; g\in G\}} )$$
（証明終）
系4.2（正定値関数と表現の包含）
$(\rho,\mathcal{K}),(\pi, \mathcal{H})$をユニタリ表現とする。
$\zeta \in \mathcal{K}$が巡回ベクトルであるとき、ある $\xi \in \mathcal{H}$について
$$ <\rho(g) \zeta ,\zeta>_{\mathcal{K}} = <\pi(g) \xi,\xi>_{\mathcal{H}}$$
が任意の$ g\in G $で成り立つならば、$\rho$は$\pi$の部分表現である。
[証明]
$$ (\rho,\mathcal{K})\cong (\pi_{\varphi_{\rho, \zeta}},\mathcal{H}_{\varphi_{\rho, \zeta}}) = (\pi_{\varphi_{\pi, \xi}},\mathcal{H}_{\varphi_{\pi, \xi}}) $$
系4.1より$(\pi, \mathcal{H})$は$(\pi_{\varphi_{\pi, \xi}},\mathcal{H}_{\varphi_{\pi, \xi}}) $を部分表現として含むので、ユニタリ表現として
$$(\rho,\mathcal{K})\subset (\pi, \mathcal{H})$$
（証明終）
つまり、GNS構成の一意性からユニタリ表現の包含関係は正定値関数によって特徴づけることができます。
この結果を参考に、"弱い包含関係"を定義してみましょう。
定義4.3(ユニタリ表現として弱く含む）
$(\rho,\mathcal{K}),(\pi, \mathcal{H})$をユニタリ表現とする。
$\rho$が$\pi$に弱く包含されるとは、すべての$\varepsilon >0 , \zeta \in \mathcal{K}$, コンパクト部分集合$K\subset G$について、ある$\xi_1, \cdots,\xi_n \in \mathcal{H}$が存在して、
$$ g \in K \Rightarrow \left| <\rho(g)\zeta, \zeta>_{\mathcal{K}} -\sum_i <\pi(g)\xi_i,\xi_i>_{\mathcal{H}} \right| < \varepsilon$$
が成り立つことをいう。このとき、$\rho \prec \pi$とかく。
弱い包含は実際に表現の包含関係の一般化になっています。つまり、以下の命題が成り立ちます。
命題4.4（定義4.3は表現の包含の一般化である）
$\rho$が$\pi$に部分表現として含まれるならば、$\rho \prec \pi$。
[証明]
ある等長な絡作用素$ T : (\rho,\mathcal{K}) \to(\pi, \mathcal{H})$がある。
すべての$g \in G, \zeta \in \mathcal{K}$について、
$$ <\rho(g)\zeta, \zeta>_{\mathcal{K}} = <(T\rho(g))(\zeta), T(\zeta)>_{\mathcal{H}} = <\pi(g)(T\zeta), (T\zeta)>_{\mathcal{H}}$$
故に、$n=1, \xi_1= T(\zeta)$とすれば、定義4.3を満足することがわかる。（証明終）
また、GNS構成から正定値関数の性質を調べることもできます。
系4.5（$\varphi$の連続性の様相は原点での連続性より誘導される）
$\varphi$が$G$上の正定値関数であるとき、すべての$g,h\in G$について
$$ |\varphi(g)-\varphi(h)|^2 \leq 2\varphi(e)\left( \varphi(e) - \mathrm{Re}\varphi(h^{-1}g)\right) $$
が成り立つ。
[証明]
\begin{align} |\varphi(g)-\varphi(h)|^2 &= \left| <\pi_\varphi(g)\xi_\varphi,\xi_\varphi>_\varphi -<\pi_\varphi(h)\xi_\varphi,\xi_\varphi>_\varphi \right|^2 \\ &= <\pi_\varphi(g)\xi_\varphi-\pi_\varphi(h)\xi_\varphi,\xi_\varphi>_\varphi \\ &= <\pi_\varphi(h^{-1}g)\xi_\varphi-)\xi_\varphi,\pi_\varphi(h^{-1})\xi_\varphi>_\varphi \\ & \leq \|\pi_\varphi(h^{-1}g)\xi_\varphi -\xi_\varphi \|^2\|\xi_\varphi\|^2 \end{align}
$$ \|\xi_\varphi\|^2 = <_e\varphi, _e\varphi>_\varphi =\varphi $$
\begin{align} \|\pi_\varphi(h^{-1}g)\xi_\varphi -\xi_\varphi \|^2 &= < {}_{h^{-1}g}\varphi - _{e}\varphi,{}_{h^{-1}g}\varphi - _{e}\varphi>_\varphi \\ &= <{}_{h^{-1}g}\varphi, {}_{h^{-1}g}\varphi>_\varphi - <{}_{h^{-1}g}\varphi, _e\varphi>_\varphi \\ & \quad -< _e\varphi,{}_{h^{-1}g}\varphi>_\varphi + < _e\varphi, _e\varphi>_\varphi \\ &= 2 \left( \varphi(e) - \mathrm{Re}\varphi(h^{-1}g) \right) \end{align}
したがって、
$$ |\varphi(g)-\varphi(h)|^2 \leq 2\varphi(e)\left( \varphi(e) - \mathrm{Re}\varphi(h^{-1}g)\right) \qquad(証明終)$$
系4.5から正定値関数の$g\in G$での連続性の度合い（つまり$x \to g$としたときの$\varphi(x) \to \varphi(g)$への近づき方）は、原点$e$での連続性の度合いで評価できることがわかります。
最後に正定値関数とユニタリ表現の関係についての著しく強い定理4.8を述べて終わります。
定義4.6（凸集合の端点）
$V$を線型空間（より弱くアファイン空間でもよい）として$S$をその凸部分集合する。$s \in S$ が端点であるとは$ t\in [0,1] ,s_1 ,s_2 \in S$について
$$ s = (1-t) s_1 + t s_2 \Rightarrow s = s_1 \text{or} s = s_2$$
が成立する時をいう。
定義4.7（正規化された正定値関数）
$$\mathcal{P}_1(G) := \left\{ \varphi : G \to \mathbb{C} ; \varphi \text{は正定値関数で} \varphi(e) =1 \right\} $$
$\mathcal{P}_1(G)$は凸集合であることが容易に確認できる。
定理4.8（ユニタリ表現の既約性と正定値関数）
$\varphi \in \mathcal{P}_1(G)$とする。この時、$\pi_\varphi$が既約表現になるための必要十分条件は、$\varphi$が$\mathcal{P}_1(G)$の端点になることである。
この定理によってユニタリ表現の既約性が正定値の幾何学的性質に換言されます。
参考文献一覧(筆者のお気持ちつき）
・Bekka, de la Harpe & Valette. Kazhdan's Property(T). Cambridge University Press, 2006
局所コンパクト群のユニタリ表現についてself-containedによくまとまっています。筆者はこの本で勉強中です。Property(T)やりたい。
・局所コンパクト群のユニタリ表現 - Mathpedia2023年8月17日最終更新、（2023年12月4日閲覧）
局所コンパクト群のユニタリ表現についてなんでも載ってます。すごい。定理の証明が隠されていて、最初は主張だけ読むことができるのもポイントが高いです。
・小林・大島、リー群と表現論、岩波書店、2005
言わずと知れた名著。定義や定理の「気持ち」の部分と厳密な「証明」の部分がバランスよく書かれていて読みやすいです。本記事と§3,4はかなり関係が深いので、気になった方は読まれるとよいと思います。
・Fulton,Harris. Representation Theory: A First Course (Graduate Texts in Mathematics, 129). Springer, 1991
記述が少し周りくどく理解に苦しむところもありますが、理解できれば楽しい本です。日本語訳が出版されるらしいので楽しみ。私は有限群のパートしか読んでいないので、後半も読んでみたいです。
かなり古い本なので新たに買うことは無理かもしれません。線形代数から始めて対称群の表現論までわかりやすくかつ明解に書かれています。
